MPA S2 algèbre 2014 Responsable : Christine Huyghe Problème du 4 mars 2015. Durée : 2h.

Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits : les documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique (calculatrice, ...). Le barême noté n’est qu’indicatif. Vous pouvez admettre le résultat d’une question afin de traiter les questions suivantes.

1. Exercice 1. Vrai/Faux. Vous devez impérativement justifier votre réponse, si nécessaire par un contre-exemple.

(a) Soit l’espace vectoriel des fonctions continues de [0 + [ à valeurs dans ℝ. Soit _{1} = _{+} ( ) = + , est un sous-espace vectoriel de .

(b) Soit l’espace vectoriel des fonctions continues de [0 + [ à valeurs dans ℝ. Soit _{2} = _{+} ( ) = 0 , _{2} est un sous-espace vectoriel de .

(c) Soient ( _{1} _{2} _{3} _{4}) une famille libre de quatre vecteurs d’un espace vectoriel . La famille ( _{1} _{1} + _{2} _{1} + _{2} + _{3} _{1} + _{2} + _{3} + _{4}) est libre.

(d) Soient et deux matrices de _{}(ℂ) telles que = 0. Alors = 0 ou = 0.

(e) Soient ( _{1} _{2} _{3}) une base d’un ℝ-espace vectoriel , et = ( _{1} _{2}), alors

= ℝ _{3}.

2. Exercice 2.

(a) On rappelle que = ^{2 3}. Soit la matrice suivante à coefficients dans ℂ,

= ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 & 1 & ^{2} \\ & ^{2} & 0 \\ 1 & ^{2} & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

Résoudre le système = 0 pour _{3 1}(ℂ) une matrice colonne.

(b) Les vecteurs suivants de ℂ^{4} forment-ils une famille libre ?

= ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 \\ ^{2} \\ ^{2} \\ 1 \end{matrix} ; ; ; ; ; ; = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}^{2} \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ; ; ; ; ; ; = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 \\ \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

3. Exercice 3.

(a) Soit _{}= ℂ[ ] ( ) . Montrer que la famille 1 ^{} forme une base de _{}comme ℂ-espace vectoriel.

(b) Soient _{0} _{1} _{}+ 1 nombres complexes. Pour tout 0 , on

note

( ) = \frac{_{=}( _{})}{_{=}( _{}_{})}

Ces polynômes s’appellent polynômes de Lagrange. i. Pour cette question, on prend = 2, _{0} = 0 et _{1} = 1. Calculer _{0} et

1 dans ce cas, les valeurs de ces polynômes en 0 et 1 et montrer qu’ils forment une base de _{1}.

ii. Pour cette question, on prend = 3, _{0} = 1, _{1} = et _{2} = ^{2}.

A. Calculer les valeurs de _{0}, _{1} et _{2} en 1, , ^{2} et montrer que ces polynômes forment une base de _{2}. On rappelle que = ^{2 3}. Montrer que

0( ) = \frac{^{2} + + 1}{3}  _{1}( ) = \frac{^{2} + ^{2} + 1}{3}  _{2}( ) = \frac{^{2} ^{2} + + 1}{3}

B. Soit = _{2} ( ^{2}) = 0 . Montrer que est un sous-espace

vectoriel de _{2}, et que ( ^{2}) . C. Montrer que 1 . D. Montrer que ^{2} ( _{0} _{1}).

iii. Montrer que dans le cas général, la famille ( _{0} _{}) forme une base de

.

(c) Soient = 4 et = _{4} ^{}( ) = 0 . i. Montrer que est un sous-espace vectoriel de _{4}. ii. Soit la droite vectorielle de _{4} engendrée par le polynôme . Montrer

que 4 =

iii. Calculer la décomposition des polynômes 1, et ^{2} suivant la somme

directe _{4} = iv. On reprend les polynômes de Lagrange _{0}, _{1} et _{2} relatifs à 1, , ^{2} de

la question précédente Exercice 3(b)ii. Calculer la décomposition des polynômes _{0}, _{1} et _{2} suivant la somme directe _{4} =